Розділ 2. Земний еліпсоїд і системи координат, які застосовуються в геодезії

 

2.1. Рівнева поверхня, геоїд, еліпсоїд обертання. Еліпсоїд Красовського

 

Земля не є правильним геометричним тілом, її фізична поверхня, особливо поверхня суші надзвичайно складна. Поверхня Землі, яку прийнято називати фізичною, або топографічною, є поєднанням поверхні океанів і материків із складними геометричними формами. Океани займають майже три чверті площі планети, а нерівності суші незначні порівняно з її площею, тому форма Землі визначається поверхнею Світового океану. Це підтверджують і зйомки Землі з космічних літальних апаратів.

Поверхня океану в стані повного спокою і рівноваги є рівневою поверхнею, тобто поверхнею, на якій потенціал сили тяжіння Землі має однакове значення. Рівнева поверхня може бути проведена через будь-яку точку фізичної поверхні Землі, а також над або під поверхнею (рис. 2.1). Поверхня, що визначає форму планети й збігається з поверхнею Світового океану, називається основною.

Форма Землі, утворена рівневою поверхнею, що збігається з поверхнею Світового океану в стані цілковитого спокою і рівноваги й продовжена під материками, називається геоїдом.

Сучасні дослідження показали, що форма Землі формується під впливом внутрішніх і зовнішніх сил. Основними є сила внутрішнього тяжіння і відцентрова сила. За даними геофізики Земля поводиться як пластичне тіло. Якби вона була нерухомим і однорідним по щільності тілом, то під дією лише сил внутрішнього тяжіння вона, як фігура рівноваги, мала б форму кулі.

Насправді внутрішня будова Землі за щільністю неоднорідна і земна кора (зовнішній шар землі завтовшки в середньому 40 км.) складається з неоднорідних за щільністю ділянок: материки і океанічні западини складних геометричних форм, рівнинні і гірські форми рельєфу материків і океанів, що межують з ними. Внаслідок такого нерівномірного розподілу мас в земній корі змінюються напрями сил притягання, а отже, сил тяжіння і прямовисних ліній. Як результат поверхня геоїда, залишаючись у кожній точці перпендикулярною до прямовисних ліній, набуває складної і неправильної в геометричному відношенні форми, яку неможна описати кінцевим математичним виразом (рис.2.3). Прямовисними лініями називаються лінії, які збігаються з напрямком дії сили тяжіння і перпендикулярні до рівневої поверхні в будь-якій її точці.

Рис. 2.1. Рівневі поверхні

      Рис. 2.2. Земний еліпсоїд                         Рис. 2.3. Відхилення прямовисної лінії.

та його елементи.

Для математичної обробки результатів геодезичних вимірів потрібно знати форму поверхні Землі. Використовувати для цієї мети фізичну поверхню або поверхню геоїда не можна внаслідок їх складності. Оскільки найбільші відхилення геоїда від еліпсоїда (еліпсоїд – фігура, утворена обертанням еліпса довкола малої осі внаслідок дії відцентрової сили) не перевищують 100 – 150 м, фігурою, найбільш близькою до геоїда, є еліпсоїд обертання, що називається земним еліпсоїдом. Напрямки прямовисної лінії і нормалі в точках земної поверхні не збігаються (рис. 2.3) і утворюють кут відхилення прямовисної лінії . В середньому його значення становить 3 – 4", а в місцях аномалій досягає десятків секунд. Нормалі, це лінії, перпендикулярної до поверхні еліпсоїда.

Параметрами, що визначають розміри і форму земного еліпсоїда, є велика а і мала b півосі і величина відносного стиску  (рис. 2.2). Величини цих параметрів можуть бути отримані за допомогою градусних вимірів, тобто шляхом геодезичних вимірів довжини дуги меридіана в 1°. Знаючи довжину градуса в різних місцях меридіана, можна визначити фігуру і розміри Землі.

За даними градусних вимірювань вчені Деламбр (1800), Бессель (1841), Хейфорд (1909) та ін. розрахували розміри земних еліпсоїдів. Параметри еліпсоїда, обчислені вченими ЦНДІГАіК під керівництвом Ф. Н. Красовського (1940), такі: а = 6378245м, b = 6356863м, = 1:298,3. В 1946 р. ці розміри затверджені як обов’язкові для проведення геодезичних і картографічних робіт в СРСР.

Земний еліпсоїд, прийнятий для обробки геодезичних вимірювань і встановлення системи геодезичних координат, називають референц-еліпсоїдом. В Україні таким референц-еліпсоїдом є еліпсоїд Ф. Н. Красовського. Відхилення його поверхні від геоїда не перевищує 100 – 150 м, що підтверджує доцільність прийняття еліпсоїда як фігури, найбільш близької до геоїда. Щоб максимально наблизити поверхню еліпсоїда до поверхні геоїда, еліпсоїд орієнтують в тілі Землі, тобто розміщують певним чином по відношенню до поверхні геоїда. Орієнтування залежить від вибору точки земної поверхні, в якій нормаль збігається з прямовисною лінією (точка А і А' на рис. 2.4). Завдання наближення

Рис. 2.4. Орієнтування земного еліпсоїда

 

поверхні еліпсоїда до поверхні геоїда може бути вирішене інакше – шляхом добору оптимальних значень відхилення прямовисної лінії, одержаних в результаті проведених вимірювань, як це зроблено для території колишнього Радянського Союзу.

Використання державами планети різних референц-еліпсоїдів призводить до відмінностей координат одних і тих самих пунктів, визначених відносно різних вихідних поверхонь.

При вирішенні багатьох практичних завдань досить прийняти форму Землі за кулю, площа поверхні якої дорівнює площі еліпсоїда, а радіус – 6371,1 км (6400 км після округлення).

 

2.2. Поняття про методи визначення форми та розмірів Землі.

 

Астрономо-геодезичний метод. Визначення форми та розмірів Землі будується на використанні градусних  вимірів, які зводяться до визначення лінійної довжини одного градуса дуги меридіана та паралелі на різних широтах. Щоб це зробити, потрібно мати дані про положення певних точок на земній поверхні (їх одержують з астрономічних спостережень) та знати відстань між ними (її визначають за допомогою геодезичних вимірювань). Однак лінійні вимірювання земної поверхні здійснити досить важко, тому що її нерівності знижують точність робіт. Вихід було знайдено голландським вченим В.Снелліусом (1580 – 1628), який запропонував використовувати для цього метод тріангуляції. Цей метод передбачає обчислення значних відстаней на основі кутових та обмежених лінійних вимірів на місцевості. Наслідком впровадження тріангуляції було те, що довжина меридіанів і паралелей стала визначатися значно точніше, ніж це робилося до того.

Тріангуляційні роботи для визначення дуг меридіанів та паралелей проводилися вченими багатьох країн. Ще в XVIII ст. було встановлено, що один градус дуги меридіана біля полюса довший, ніж біля екватора. Цим підтверджувалася ідея І.Ньютона (1643 –1727) про те, що Земля повинна мати форму еліпсоїда обертання, сплюснутого біля полюсів. У результаті градусних вимірювань за участю Ж. Деламбра одержано довжину 1/1 000 000 частини паризького меридіана, яку було прийнято за одиницю довжини метричної системи – метр.

Геофізичний (гравіметричний) метод. В основу методу покладено вимірювання величин, що характеризують поле тяжіння Землі та його зміни. Цей метод можна застосувати й на акваторіях морів та океанів, де вимірювання астрономо-геодезичним методом неможливі.

Початок гравіметричним вимірам було покладено в 1743 р. французьким вченим А. Клеро. Він припустив, що поверхня Землі має вигляд сфероїда, тобто фігури, якої набула б наша планета в стані гідростатичної рівноваги під впливом тільки сил взаємного тяжіння її частин та центробіжної сили обертання навколо незмінної осі.

Космічний метод. Розвиток космічного методу вивчення Землі пов'язаний з освоєнням космічного простору, яке почалося з виведенням на орбіту першого штучного супутника Землі (ШСЗ) у жовтні 1957 р. Перед геодезією постали нові завдання, зокрема спостереження за ШСЗ на орбіті та визначення їх просторових координат. Встановлення відхилень реальних орбіт ШСЗ від теоретичних, викликаних нерівномірним розподілом мас у земній корі, дозволяє уточнити уявлення про гравітаційне поле Землі та її форму.

 

2.3. Вплив кривизни Землі на вимір горизонтальних і вертикальних відстаней

 

У практиці геодезичних робіт на незначних за розмірами ділянках рівневу поверхню приймають за площину. Це призводить до пиникнення похибок у визначенні відстаней і висот точок, які зростають зі збільшенням площ ділянок.

Нехай точки і (рис. 2.4) – горизонтальні проекції точок А і В поверхні Землі на рівневу поверхню, що приймається за сферу радіусу R. У точці  проведемо дотичну площину до перетину її з прямою  в точці . Тоді заміна рівневої поверхні  горизонтальною площиною  спричинить похибку: в горизонтальній відстані

,                 (1)

по висоті

                                   (2)

Робочі формули для обчислення цих похибок мають наступний вигляд:

;

.

Прийнявши  км і  км, за формулою (1) отримаємо  см, або

.

Така похибка вважається допустимою при найточніших геодезичних роботах. Тому якщо зображувана ділянка земної поверхні не виходить за межі круга діаметром 20 км, то відповідну йому частину рівневої поверхні можна прийняти за площину. Зі збільшенням  похибка  росте дуже швидко, оскільки вона пропорційна кубу відстаней.

Підставивши в формулу (2) довільні числові значення  отримаємо значення :

, км …………….………………..0,1                 1          2          3          10

, см ………………………….0,078                7,8      31       71       780

Тому при вимірі вертикальних відстаней необхідно визначати величину  для даних умов і, відповідно до вимог до точності, враховувати або нехтувати впливом кривизни Землі.

2.4. Системи координат в геодезії

 

Координатними площинами, відносно яких визначають положення точок на земній поверхні, є площина екватора земного еліпсоїда та площина початкового меридіана.

Координатице величини, що визначають положення будь-якої точки на поверхні або в просторі відносно прийнятої системи координат.

Система координат встановлює початкові (вихідні) точки поверхні або лінії відліку потрібних величин – початок відліку координат та одиниці їх обчислення.

У геодезії найбільшого застосування набули системи географічних, плоских прямокутних та полярних координат.

Система географічних координат (географічні координати) застосовується для визначення положення точок Землі відносно екватора і початкового меридіана. Координатами є кутові величини: довгота і широта точки. Координатна (картографічна) сітка створюється лініями меридіанів і паралелей.

Меридіаном називають лінію перерізу еліпсоїда площиною, що проходить через дану точку і полярну вісь обертання Землі РР' (рис. 2.5).

Паралель – це лінія перерізу еліпсоїда площиною, що проходить через дану точку і перпендикулярна до земної осі, РР'. Паралель, що проходить через центр еліпсоїда, називають екватором. За початковий (нульовий) прийнято Гринвіцький меридіан, тобто меридіан, який проходить через центр головного залу Гринвіцької обсерваторії на околиці Лондона.

Географічні координати визначають в результаті астрономічних спостережень відносно земної поверхні або шляхом геодезичних вимірювань поверхні референц-еліпсоїда. У першому випадку їх називають астрономічними, у другому – геодезичними. При астрономічних спостереженнях проектування точок на відповідну поверхню здійснюється прямовисними лініями, при геодезичних – нормалями, тому значення астрономічних і геодезичних координат дещо відрізняються.

Астрономічні координати обчислюють відносно площини, перпендикулярної до осі обертання Землі (площини екватора) і площини початкового астрономічного меридіана. Площиною астрономічного меридіана є площина, що проходить через прямовисну лінію в даній точці і паралельна осі обертання Землі. Початковою точкою відліку координат є точка перетину початкового меридіана і екватора, для якої широта і довгота дорівнюють 0°.

Астрономічна широта () – це кут, утворений прямовисною лінією в даній точці і площиною, перпендикулярною до осі обертання Землі.

Астрономічна довгота () –це двогранний кут між площинами астрономічного меридіана даної точки та початкового астрономічного меридіана (див. рис 2.5).

Рис. 2.6. Система плоских                                                            Рис. 2.7. Система полярних прямокутних координат                                                                 координат      

 

Геодезичні координати – це координати, які показують положення точок відносно площини початкового геодезичного меридіана і площини екватора земного еліпсоїда. Площиною геодезичного меридіана є площина, що проходить через нормаль до поверхні земного еліпсоїда в даній точці і паралельна до його малої осі.

Геодезична широта (В) – це кут, утворений нормаллю до поверхні земного еліпсоїда в даній точці і площиною його екватора.

Геодезична довгота (L) двогранний кут між площинами геодезичного меридіана даної точки і початкового геодезичного меридіана.

За початок відліку координат у геодезичній системі (на референц-еліпсоїді) беруть певну точку з відомими геодезичними координатами або вихідними даними. Відносно неї визначають всі інші координати пунктів геодезичної сітки.

Широта є північна і південна, змінюється вона від 0° (на екваторі), до 90° (на земних полюсах). Довгота є східна та західна і змінюється від 0° (на початковому, Гринвіцькому меридіані) до 180° на схід і на захід від нульового меридіана. Довгота і широта можуть бути також визначені, відповідно довжиною дуги меридіана і паралелі на поверхні еліпсоїда.

Плоскими прямокутними геодезичними координатами (прямокутними координатами) називають лінійні величини – абсцису і ординату, що визначають положення точки на площині відносно вихідних напрямків. Вихідними напрямками служать дві взаємно перпендикулярні лінії (рис. 2.6) з початком відліку в точці їх перетину О. Пряма XX є віссю абсцис, а пряма YY – віссю ординат. У цій системі положення будь-якої точки на площині визначається найкоротшою відстанню до неї від осей координат. Так, положення точки А визначається довжиною перпендикулярів  та . Відрізок  називають абсцисою, а , – ординатою точки А. Відображаються абсциси і ординати в лінійних величинах (найчастіше в метрах).

У геодезії прийнято праву систему прямокутних координат: це відрізняє її від лівої системи координат, яка використовується в математиці. Чверті системи координат, назви яких відповідають назвам сторін світу, нумеруються за годинниковою стрілкою (див. рис. 2.6).У такій системі спрощується вимірювання кутів орієнтування. Абсциси точок, розташованих вверх від початку координат, вважають додатними, а вниз – від’ємними; ординати точок, розташованих праворуч від початку координат, вважають додатними, а ліворуч – від’ємними (табл. 1).

Систему плоских прямокутних застосовують для визначення координат точок на порівняно невеликих ділянках земної поверхні, що приймаються за площину.

 

Таблиця 1

Чвертні системи

Координати

X

Y

І – північний схід (Пн.Сх.)

+

+

ІІ – південний схід (Пд.Сх.)

+

ІІІ – південний захід (Пд.Зх.)

IV – північний захід (Пн.Зх.)

+

 

У державній системі координат за вісь ординат приймають лінію екватора, за вісь абсцис – напрямок меридіана, який називають осьовим (він збігається з напрямком однієї з осей системи прямокутних координат). При виконанні робіт на значних за розмірами територіях осьовими вибирають кілька меридіанів. Для невеликих ділянок початок відліку координат може бути в будь-якій точці ділянки (це так звана система з умовним початком координат).

Координати, початком відліку яких є певна точка на місцевості, називають топоцентричними. Якщо на горизонтальній площині через довільно вибрану точку О провести пряму ОХ (так звана полярна вісь), то положення будь-якої точки, наприклад М, визначатиметься радіусом- вектором  та кутом напрямку  а точка N – відповідно  і  (рис.2.7). Такі координати називають полярними. Кути  і  вимірюють від полярної осі за ходом годинникової стрілки до радіуса-вектора. Полярна вісь на площині може розташовуватись довільно або збігатися з напрямком меридіана, що проходить через полюс (точка О).

Система плоских прямокутних координат Гаусса-Крюгера. Дану систему координат використовують при великомасштабному зображенні значних частин земної поверхні на площині, отже, і при вирішенні більшості завдань, що зв’язані з проектуванням будівельних комплексів.

Для великомасштабного картографування необхідна проекція, що забезпечує збереження подібного зображення фігур (контурів) при переході з поверхні кулі на площину, спотворення розмірів фігур, що виникають при цьому, мають бути малі і легко враховуватися. Даним вимогам відповідає прийнята з 1928 р. поперечно-циліндрична рівнокутна проекція Гаусса-Крюгера.

Рис. 2.8. Схема побудови поперечної циліндричної проекції

 

Зображення поверхні земної кулі на площині в проекції Гаусса-Крюгера отримують наступним чином. Поверхню розбивають меридіанами на зони шириною 3 або 6° за довготою. Земну кулю вписують в циліндр так, щоб площина екватора співпала з віссю циліндра (рис. 2.8). Кожна зона з центру Землі проектується на бічну поверхню циліндра. Після проектування бічну поверхню циліндра розгортають в площину, розрізавши її по меридіанах, що проходять через земні полюси. На отриманому зображенні середні (осьові) меридіани зон (рис. 2.9) і екватор – прямі лінії, всі інші меридіани і паралелі – криві. Спотворення розмірів контурів поблизу середніх (осьових) меридіанів зон мінімальні і зростають у міру віддалення до країв. Лінія на поверхні кулі завдовжки S при зображенні її на площині отримає спотворення

,

де  – середнє значення ординат початкової  і кінцевої  точок лінії;  – радіус Землі.

Відносні спотворення  на краях шестиградусної зони можуть досягати величини порядку 1/1500, а трьохградусної – порядку 1/6000. Вибір ширини зони (6 або 3°) залежить від того, з якою точністю повинно вестися проектування будівельного комплексу. Якщо для проектування потрібні топографічні матеріали масштабу 1:10 000 і дрібніше, застосовують шестиградусні зони, для карт масштабу 1:5000 крупніших масштабів – трьохградусні. Весь земний еліпсоїд охоплюють 60 шестиградусних зон. Вони нумеруються арабськими цифрами, починаючи від Грінвицького меридіану на схід.

За початок відліку координат в кожній зоні приймають точку перетину осьового меридіана – осі абсцис Х і екватора – осі ординат Y. На картах проводять прямокутну координатну сітку, що складається з прямих ліній, паралельних осьовому меридіану і екватору (рис. 2.9). Відстані між суміжними лініями сітки для масштабів карт 1:10 000; 1:25 000 і 1:50 000 складають один кілометр на місцевості.

Рис.2.9. Шестиградусні зони Гаусса-Крюгера

 

Система координат в кожній зоні однакова. Для території України, що розташована в північній півкулі, абсциси завжди позитивні. Що стосується ординат, то вони в кожній зоні могли б бути як позитивними так і негативними. Для того, щоб і ординати були завжди позитивні, початок координат домовились змістити на захід на 500 км. В цьому випадку всі точки на схід і захід від осьового меридіана матимуть позитивні ординати. Такі ординати називаються перетвореними. Перетворена ордината починається з номера зони. Наприклад, якщо точка розташована в четвертій зоні на відстані 64 245 м на захід від осьового меридіана, її перетворена ордината рівна 4 435 755 м, якщо на тій же відстані на схід від того ж осьового меридіана, то перетворена ордината y = 4 564 245 м.

Рис. 2.10. Координатна сітка

Усі сучасні топографічні карти України складені у проекції Гаусса-Крюгера. В інженерній практиці для невеликих ділянок місцевості план може бути складений в умовній системі прямокутних координат. Початок умовної системи координат вибирають так, щоб значення X та Y були додатними. Вісь абсцис орієнтують у напрямку магнітного меридіана.

Для зручності визначення прямокутних координат на планах і картах нанесена координатна сітка (рис. 10). Це система взаємно перпендикулярних ліній, проведена через певні відстані паралельно осям X та Y зони. Значення абсцис X та умовних ординат Y ліній координатної сітки підписані на картах і планах.

Система висот.

Для визначення положення точок фізичної поверхні Землі не досить знати лише дві координати на поверхні (наприклад, х і у). Потрібна третя координата – висота точки Н (рис. 2.11). Висотою Н точки земної поверхні називається відстань по прямовисній лінії (нормалі) між рівневою поверхнею точки і рівневою поверхнею, прийнятою за початкову. Числове значення висоти точки називають позначкою висоти, або позначкою. Висоту точки, яку обчислюють від основної рівневої поверхні, називають абсолютною (НА), а визначену відносно довільно обраної рівневої поверхні – умовною (). Різницю висоти між двома точками (або відстань за прямовисним напрямком між рівневими поверхнями, що проходять через дві будь-які точки на Землі) називають відносною висотою, або перевищенням  (або ) цих точок:

.

У нашій країні прийнято Балтійську систему висот. Відлік висот за цією системою ведуть від рівневої поверхні, що проходить через нуль футштока біля Санкт-Петербурга. Футшток – рейка, яку встановлюють на берегах океанів і морів для спостережень за рівнем води. Нуль Кронштадтського футштока є мідною пластиною, закріпленою в опорі моста у м. Кронштадті, з нанесеною горизонтальною рискою.

 

З історії

·               З 1707 року в Кронштадті діє футштокова служба.

·               В 1840 році за пропозицією гідрографа М. Ф. Рейнеке на кам’яній опорі Синього мосту через кронштадтський Обвідний канал нанесена риска, що відповідала середньому рівню води Фінської затоки за спостереженнями 1825-1839 років.

·               З 1898 року працює автоматичний самописний прилад-мареограф, що фіксує зміни рівня води. Спочатку він розташовувався в дерев’яній будці, потім в спеціальному павільйоні з колодязем (фото 2.1).

·               В 1871-1904 роках астроном В. Е. Фус з астрономічної обсерваторії в Кронштадті здійснив нівелірний зв’язок нуля Кронштадтського футштока з марками на материку. В. Е. Фусу належить велика заслуга у вирішенні питання про основний нуль висот Росії.

·               В 1886 році астроном-геодезист Витрам на місці нульової мітки вправив в камінь мідну пластину з горизонтальною рисою, яка і представляє нуль Кронштадтського футштока.

·               В 1898 році в дерев’яній будці був встановлений мареограф – прилад, постійно реєструючий рівень води в колодязі відносно нуля футштока. Трохи пізніше мареограф перенесли в невеликий павільйон з глибоким колодязем. Самописець мареографа неупереджено фіксує коливання моря, відмічаючи і відливи, і повені.

·               В 1913 році завідувач інструментальною камерою Кронштадтського порту Х. Ф. Тонберг встановив нову пластину з горизонтальною рисою, яка і служить до теперішнього часу початковим пунктом нівелірної сітки Росії.

 

Від нуля Кронштадтського футштока на усій території України (територія країн СНД) проводять виміри глибин і висот. Географічні карти рівняються на Кронштадтську точку відліку. Навіть космічні орбіти ведуть відлік від невеликої риски мідної таблички, прикріпленої до опори Синього мосту через Обвідний канал в Кронштадті.

На сучасному етапі з використанням супутникових навігаційних систем (GPS) при розв’язанні геодезичних задач використовують геоцентричну систему прямокутних просторових координат (2.12).

Початок координат розміщено в центрі мас Землі. Вісь ОХ у площині екватора проходить через точку перетину Гринвіцького меридіана й екватора. Вісь ОY доповнює прийняту систему координат до правої, а вісь OZ спрямована вздовж осі обертання Землі до Північного полюса.

Для точки М маємо просторові координати:

;

;

.

В Україні для вирішення народногосподарських завдань міждержавного рівня запроваджено світову систему просторових координат WGS-84.

 

 

 

 

 

 

2.5. Вимірювання за картами довжин ліній

 

При вимірюванні довжин ліній за картами слід пам’ятати, що в результаті отримують довжини горизонтальних проекцій, а не довжини ліній на земній поверхні. Однак, при невеликих кутах нахилу різниця в довжині похилої лінії і її горизонтальної проекції дуже мала і може не враховуватися.

При вимірюванні за картами відстаней в гірських районах дійсну відстань на похилій площині можна обчислити за формулою

,

де  – дійсна відстань на похилій площині, – довжина горизонтальної проекції лінії ,  – кут нахилу.

Для визначення довжини відрізка прямої між двома точками в розхил циркуля-вимірника беруть з карти заданий відрізок, переносять на лінійний масштаб карти і отримують довжину лінії в метрах чи кілометрах. Аналогічно вимірюють довжину ломаних ліній, беручи в розхил циркуля довжину кожного відрізка, і потім сумуючи їх довжини. Вимірювання довжин кривих ліній (доріг, кордонів, річок і ін.) більш складні і точні. Дуже плавні криві вимірюють як ломані, розбиваючи попередньо на ломані відрізки. Звивисті відрізки вимірюють малим постійним розхилом циркуля, переставляючи його (“крокуючи”) всіма вигинами ліній. Очевидно, що дрібнозвивисті лінії слід вимірювати дуже малим розхилом циркуля (2-4 мм). Знаючи, якій довжині на місцевості відповідає розхил циркуля, і підрахувавши їх загальну кількість, визначають загальну довжину відрізка.

Для вимірювання кривих ліній користуються також курвіметром. Коліщатко, що знаходиться в нижній частині приладу, котять по вимірювальній кривій. Рух коліщатка передається стрілці. За поділками шкали на циферблаті визначають, яку відстань пройшло коліщатко по карті. Отриману довжину в сантиметрах перетворюють в натуральну величину.

Дійсне значення вимірюваної величини через вплив похибок вимірювання залишається невідомим. Тому визначають її ймовірне значення. Таким значенням є середнє арифметичне всіх окремих вимірів

: ,

де  – ймовірне значення вимірюваної величини; – результати окремих вимірювань;  – кількість вимірювань. Чим більше вимірів, тим ймовірне значення вимірювань ближче до істинної величини . Якщо припустити, що значення дійсної величини  відоме, то різниця між цією величиною і виміром  дасть дійсну похибку вимірювання . Відношення похибки вимірювання будь-якої величини  до її значення називається відносною похибкою . Ця похибка виражається у вигляді правильного дробу, в якого в знаменнику – частка похибки від величини, що вимірюється, тобто .

 

2.6. Визначення за картами площі ділянки

 

При оцінці розмірів ділянок місцевості, що відводяться під будівництво, сільськогосподарське землекористування і інші цілі, за картами і планами визначають їх площу. Визначити площу ділянки на карті – це значить провести вимірювальні та обчислювальні роботи, в результаті яких площу ділянки одержують у земельній мірі: квадратних метрах, гектарах тощо. При цьому визначається площа не фізичної поверхні ділянки місцевості , а її проекції на горизонтальну площину Р (рис. 2.13):

, а .

Залежно від потрібної точності результатів застосовують різні способи визначення площі:

     за допомогою палетки;

     графічний;                                 – аналітичний;

     механічний;                               – зважування.

Кожний з них застосовують самостійно або разом з іншими.

Визначення площі за допомогою палетки. Палетка – це нанесена на прозору основу сітка квадратів, точок, паралельних рівновіддалених ліній тощо (рис. 2.14).

Рис. 2.13. Взаємне положення фізичної                                              Рис. 2.14. Палетка:

поверхні ділянки місцевості і горизонтальної                а – сітчаста; б – паралельна площини

 

Робота з квадратною (сітчастою) палеткою починається з визначення величини її поділки  в мм2 або см2. Відомо, що , де  – сторона поділки палетки в міліметрах або сантиметрах.

Потім визначають ціну поділки палетки , тобто число одиниць земельної міри, яке відповідає одній поділці палетки для карти певного масштабу: , де  – ціна 1 мм (1 см) в масштабі карти.

Площа , визначена за допомогою палетки, обчислюється за формулою

 

де  – кількість поділок палетки, що обмежені контуром ділянки.

Для підрахування поділок палетки  її накладають на ділянку, що вимірюється, і лічать кількість повних  та неповних  поділок (тих, що розсічені контуром ділянки). Доведено, що .

Вимірювання повторюють, змінивши положення палетки відносно початкового. Палетку слід накладати так, щоб контур розсікав якомога менше поділок палетки.

Квадратні палетки рекомендується застосовувати для визначення площ малих ділянок (до 3 см2) з криволінійними обрисами. Їх використовують також для приблизного визначення площ великих ділянок. Основний недолік цих палеток – імовірність грубої помилки під час підрахунку кількості поділок.

Крім квадратних палеток використовують паралельні (лінійні) палетки, крапкові палетки.

Графічний спосіб. Застосовувати цей спосіб доцільно для визначення площ ділянок розміром до 15 см2 з відносно прямолінійними межами (звивисті відрізки меж замінюють на прямі). Ділянку, що має форму многокутника, розбивають на прості фігури, площу яких можна вирахувати за відомими формулами. Доведено, що найбільш точні результати одержують при розбивці ділянки на трикутники, особливо на такі, що мають однакові основу  і висоту . Результати обчислень переводять у масштаб карти. Формула площі ділянки має вигляд

.

Точність графічного способу дорівнює 1/100 – 1/200 площі, що вимірюється.

Механічний спосіб базується на застосуванні планіметра – механічного або електронного приладу, що дозволяє порівняно швидко і точно виміряти площу ділянки будь-якої конфігурації.

Точність визначення площі планіметром залежить від багатьох причин. Встановлено, що за його допомогою доцільно вимірювати ділянки понад 20 см2. Малі ділянки, а також лінійно витягнуті об’єкти (дороги, річки тощо) краще вимірювати палеткою або графічним способом. За сприятливих умов роботи точність результатів близька до 1/200 – 1/400 площі, що вимірюється.

Визначення площі зважуванням. Для застосування цього способу необхідні аналітичні ваги. Ділянку, площа якої визначається, викреслюють на прозорому пластику, що не деформується, потім вирізують її за контуром і зважують. З площі контуру вирізують еталонну фігуру (квадрат, коло) і теж зважують. Площу еталонної фігури визначають за відомими формулами. Тоді ,

де  – маса цілого контуру,  – маса еталона;  – площа еталона.

Точність визначення площі зважуванням близька до точності механічного способу, але продуктивність його вища.

Аналітичний спосіб. Аналітичний спосіб визначення площ використовується у разі, коли ділянка обмежена ламаною лінією, а прямокутні координати його вершин визначені з високою точністю. Принцип визначення площі ділянки полягає в наступному: вершини ділянки проектують на осі X і Y, в результаті утворюється

Рис. 2.15. Схема аналітичного способу визначення площ

ряд трапецій основами яких є координати хі вершин ділянки, а висотами – прирости координат  (рис. 2.15).

Площу ділянки обчислюють за формулою

або

.

де  – кількість вершин полігона;  – номер вершини.

Коли маємо чотири вершини, то отримаємо формули:

,

або

.

Тобто площа полігона дорівнює половині суми добутку ординат кожної точки і різниці абсцис попередньої та наступної точок; або площа полігона дорівнює половині суми добутку абсцис кожної точки і різниці ординат наступної та попередньої точок.

Точність визначення площ аналітичним способом становить

і залежить від точності визначення координат.

Контрольні питання

1.    Що таке фізична і рівнева поверхні Землі?

2.    Що називається основною рівнявою поверхнею?

3.    Прямовисні лінії, нормалі, кут відхилення прямовисної лінії.

4.    Геоїд, еліпсоїд обертання, еліпсоїд Красовського.

5.    Які фактори впливають на форму Землі?

6.    Які методи визначення форми та розмірів Землі ви знаєте?

7.    Що називають системою координат?

8.    Які системи координат застосовуються в геодезії?

9.    В чому полягає різниця між астрономічними та геодезичними географічними координатами?

10. Що називається астрономічною широтою і довготою?

11. Дайте визначення геодезичної широти і довготи.

12. В чому полягає різниця між топоцентричними та геоцентричними системами координат?

13. Чим визначається положення точки в полярній та плоскій прямокутній системах координат?

14. Як відлічуються абсциса і ордината точки у зональній системі прямокутних координат в проекції Гаусса-Крюгера?

15. Що називається абсолютною і умовною висотою точки на земній поверхні? Що таке відносна висота точки на земній поверхні?

16. Що називається відміткою точки на земній поверхні?

17. Назвіть межі, при яких рівневу поверхню можна вважати за площину при вимірюванні відстаней.

18. Вкажіть межі, при яких рівневу поверхню можна вважати за площину при вимірюванні перевищень.

19. Як можна виміряти відстань на топографічні карті чи плані?

20. Які способи вимірювання площі ділянки на топографічній карті чи плані ви знаєте? В чому вони полягають?

21. Що означає виміряти площу ділянки за планом чи топографічною картою? Що називають ймовірним значенням величини та її відносною похибкою?