§3. Правила диференціювання

Якщо згадати, що , то звідси отримаємо . Цю рівність і використаємо при доведенні наступних теорем.

Теорема 1. (Похідна суми функцій) Якщо функції  та  диференційовні в точці , то в цій точці буде диференційовною і сума цих функцій. Причому, похідна суми функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, тобто .

Доведення. Нехай . Тоді

Отже,           ,   що і треба було довести.

Теорема 2. (Похідна добутку функцій) Якщо функції  та  диференційовні в точці , то в цій точці буде диференційовний добуток цих функцій і має місце формула .

Доведення. Нехай . Тоді

 

звідки 

Функція  - за умовою теореми є диференційованою в точці , а значить і неперервною.З означення неперервної функції , якщо . А тому останній доданок дорівнює нулю, і ми отримали необхідну формулу.

Наслідок.  - сталий множник можна виносити за знак похідної.

Теорема 3. (Похідна частки функцій) Якщо функції  та  диференційовні в точці  і , то частка цих функцій також диференційована в точці  і має місце формула .

Доведення. Нехай . Тоді

    

а значить   .

Наслідок 1. .

Наслідок 2. .

Приклад 1. Знайти похідну функції  ().

.

Отже, отримали формулу        .

Приклад 2. Знайти похідну функції  ().

.

Отже, отримали формулу        .

Теорема 4. (Похідна оберненої функції) Нехай функція  визначена, неперервна і строго монотонна в околі точки  (). Якщо існує , то існує похідна оберненої функції і .

Доведення. При вказаних умовах існує обернена функція  в околі точки , яка також неперервна і строго монотонна. Надамо приросту . Тоді  одержить приріст . З монотонності маємо, що , а з неперервності . Тому

  або   .

Отже,           .

Останні формули мають простий геометричний зміст: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції  в точці  є , а кутовий коефіцієнт до графіка функції  в точці  - . Очевидно, що , а тому  або .

А значить,      або  .

Приклади 1. Нехай . Тоді . А значить,

.

Отже, отримали формулу .

В частинному випадку, коли , маємо          .

2. Нехай . Тоді , , . А значить, .

Отже, отримали формулу        .

3. Нехай, . Тоді , де , .

.

Отже, отримали формулу        .

4. Нехай. Тоді, , де    

.

Отже,отримали формулу         .

5. Нехай . Тоді , де ,  

.

Отже, отримали формулу        .

Теорема 5. (Похідна складної функції) Нехай функції  та  задають складну функцію . Якщо функція  диференційовна в точці , а функція  диференційовна в точці , то складна функція  диференційовна в точці  і похідна знаходиться за формулою

.

Доведення. Надамо  деякого приросту . Тоді функція  отримає приріст , а функція  - приріст . Але функція  диференційовна в точці , тому , де  - нескінченно мала:  при . Останню рівність поділимо на  

.

А тепер перейдемо до границі при . Отримаємо

,

що і треба було довести.

Приклади

1. Нехай , де  - довільне число. Відомо, що . А тоді .

Отже, отримали формулу        .

2. Нехай . А тоді

.

Отже, отримали формулу .

3. Нехай . А тоді

.

Отже, отримали формулу .

Зауваження. Як показують розглянуті приклади, диференціювання не виводить з класу елементарних функцій.

Таблиця похідних основних функцій

Використовуючи встановлені формули основних елементарних функцій і правило диференціювання складної функції, випишемо формули у вигляді таблиці, де  - диференційована функція.

 

1. ;

2.  ;

2а. ;

2б. ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  ;

9.  ;

10.  ;

11. ;

11а. ;

12. ;

12а. ;

13. ;

14. .

 

Наголосимо ще раз, що таблиця похідних із правилами диференціювання становлять основу диференціального числення. Користуючись ними, можна знаходити похідні від функцій, які утворюють за допомогою арифметичних операцій та суперпозицій над основними елементарними функціями, що ми і продемонструємо на наступних прикладах.

Приклад 1.        

Перепишемо функцію у вигляді .

Тоді .

Приклад 2.        

        

Приклад 3. .

Перепишемо функцію у вигляді . Тоді

Приклад 4. .

Приклад 5.         .

.

 

Приклад 6.        

         Приклад 7.         .

 

Приклад 8.         .

Якщо   записати у вигляді ,  то

.

Приклад 9.                  .     

Приклад 10.       .

 

         Приклад 11.       .

Приклад 12.  .

.

Приклад 13.                .

         Приклад 14.                .

         Приклад 15.                .

.

Приклад 16.                .

Приклад 17.  .

Перепишемо функцію у вигляді . Тоді